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호랑이? 사자? 새끼 낭떠러지

choiyoung — Wed, 28 Dec 2016 16:37:57 +0000

우리가 들어 본

호랑이는 새끼를 낳으면 낭떠러지 아래로 떨어뜨려 제 힘으로 기어오르는 새끼만을 키운다.

에서 “호랑이”는 “사자”라고도 하는데요.

“사자”가 맞는지 “호랑이”가 맞는지 찾다 보니 “독수리”라고도 해서 근원을 조사해 봤습니다.

교회나 교회 수련회 설교 시간, 내지는 자기개발서에서 질리도록 나오는 레파토리 중 사자는 새끼를 절벽에 떨어트리고 살아남는 놈만 키운다는 말이 있다. 이 속설은 원래 사자 대신 호랑이에 관한 속설이었는데 몇몇 매체에서 사자로 바꿔 넣은 것이 와전된 듯하다.[40] 사자와 호랑이가 비슷한 맹수의 이미지이기에 가끔 착각되는 듯 하나 엄연히 호랑이에 관련된 속설이다. 물론 호랑이라고 해서 이런 미친 짓을 실제로 하진 않는다. 20세기 들어서 호랑이에 관한 연구가 활발히 이루어지고 있지만 호랑이든 사자든 독수리든 늑대든 이 속설에 관한 어떠한 증거도 찾지 못했다. 경쟁자가 없는 생태계 최상위 포식자가 금이야 옥이야 애지중지 키워도 서너마리 중에 한두놈 살아남을까 말까 한 것이 야생의 세계다.

그리고 이 말은 정확히는 사자의 생태를 알면 할 수 없는 말이다. 암사자는 새끼를 낳을 경우 그 새끼가 다 자랄 때까지 임신을 할 수 없다. 그리고 보통 수사자 하나에 다수의 암사자가 하나의 공동체를 이루고 있는데, 암사자가 새끼 사자를 낳았을 당시 수사자가 교체되어 그 수사자가 자신의 아이가 아닌 다른 수사자의 아이를 키울리가 없으므로 사자 새끼를 죽이는 것이다. 아프리카에는 절벽이 없다고는 하나, 다른 지역에도 사자가 살기에 아마 거기서 와전된 것이 아닌가 싶다. 물론 그리스나 메소포타미아 지역에도 고대에 사자가 살았고 바위산에 자주 나타났다고 하지만 자식 떨구기는 인간이 지어낸 뜬소문이다.

사자가 자기 새끼를 절벽에서 떨어트린다는 말은 1910년 독일의 델타 남작의 논문에서 나왔다. 델타 남작은 아프리카에서 사자가 새끼 두마리를 절벽에서 던지는걸 보고 그걸 논지로 스파르타식 교육을 주장했다. 그런데 영국에서 나온 후속 연구 결과는 자기 새끼가 아니고, 다른 무리를 침공해 원래 있던 수사자를 쫒아내고 암컷들을 쫒아낸 수사자가 전임자의 아이들을 학살하는 것이라고 한다. 참조

한 술 더 떠서 이 속설이 내포하는 참된 의미(?)조차 모르고 역시 아이들은 두들겨패면서 길러야한다로 잘못 이해한 사람들이 한둘이 아니어서(…) 지나친 가부장제를 정당화하는데 악용되기도 했다.[41] 전술했다시피 한국의 자기개발서나 교회 설교 등지에서 뻔질나게 등장하는 문구인데 특히 목사말이라면 비판의 여지도 없이 낼름 믿어버리는 한국의 개신교 특성상 이 말도 안되는 속설이 퍼졌을 가능성이 크다. 동물에 대해 최소한 목사보다는 아는게 많은 신도가 그점을 지적해줘도 목사의 무지에 대한 지적이 아닌 하나님에 대한 도전으로 받아들이는 게 한국교회 현실이다보니 어쩔 수 없이 생겨난 참극(…).

이와 비슷하게 독수리는 둥지를 흔들어서 새끼를 떨어뜨리고 떨어지는 새끼를 붙잡아서 나는 법을 배우게 한다는 이야기 역시 사실무근이다.

(인용 나무위키 : https://namu.wiki/w/%EC%82%AC%EC%9E%90)

즉 “호랑이”는 속설이고 “사자”는 와전 된 구석이 강하고 “독수리”는 재생산 격이라 하는데요. 강하게 자라나야 한다는 이유를 위해 만들어낸 속설 우리가 말할 때 고민을 해봐야 할 표현 같습니다.

“호랑이” 속설이 제일 먼저 시작되지 않았나 생각 됩니다. 유교사상에서는 강인함을 위한 인내에 대해서 오래도록 전해 내려왔고 동양은 “호랑이”를 많이 인용해 왔습니다. 그러니 그러한 속설이 오래전해 내려왔을거며 이후에 스파르타로 와전 되면서 독일에서 “사자”를 사용하지 않아 생각 됩니다.

사실 이러한 부분은 중요해 보이지 않는듯 합니다. 그래서 결국 강한놈이 살아 남는다로 표현을 만들어진듯 합니다.

강인해야 살아남을 수 있다는 정신 교육으로 쓰이는 표현은 우리의 교육의 일면을 생각하게 합니다.

스스로 강인하게 자라나길 위해서는 어려운 역경을 잘 헤쳐나가야 하고 그렇지 못하면 도태되어 간다.

이것이 진정한 현실일까요?

누군가가 지켜봐주지 않으면 도움이 안되는 건가요?

누군가가 응원해 주고 다시 도전하게 도와주면 안되는 걸까요?

스파르타가 아닌 어려움을 이겨내는 응원과 자각의 기회를 만들어 주는 문화가 참된 교육이며 양육이 아닌가 생각해 봅니다.

호랑이는 새끼를 낳으면 낭떠러지 아래로 떨어뜨려 제 힘으로 기어오르지 못하는 새끼를 응원하며 오를수 있게 돌봅니다.

교육에 대한 생각을 이제는 바꿔야 한다고 봅니다.

오르게 잡아주지 않더라도 죽게 두어서는 아무 도움이 되지 않습니다.

오르지 못하면 다시 기회를 만들어 주고 오를수 있게 지켜봐주는 돌봄이 필요 합니다.

어려움은 누군가는 쉽게 이겨 낼 수 있고 누군가는 더딜수 있습니다.

하지만 포기하지 않고 오르고 자생 할 수 있게 옆에서 지켜봐 주며 응원해 주는 환경

우리가 사용하는 언어에서 부터 생각해 봐야 하는 문화가 아닌가 생각해 봅니다.

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수학 포기의 늪에서 벗어날 수 없을까?

whoborn — Mon, 27 Apr 2015 08:30:10 +0000

요즘은 초등학교 입학 이전부터 수학 사교육을 시작합니다. 수학에 대한 학교교육과 사교육에 들이는 시간과 교육비를 따지면 상당한 양입니다. 그럼에도 절반 이상이 수학을 포기하는 믿기기 힘든 현실을 마주하게 됩니다. 왜 이런 현상이 일어나고, 어떻게 해야 이 문제를 해결할 수 있을까요?

만약 뉴턴과 데카르트가 현재의 우리나라 수학교육을 받았다면, 이들도 수포자가 되었을지도 모를 일입니다. 아이들의 재능이 잘못된 교육으로 짓밟힐 수도 있겠지요.

중고등 수학 수준을 낮추면 이 문제가 해결될까요? 스토리텔링 수학을 잘 정착시키고, 더 확대하면 수학을 즐길 수 있을까요? 정말 대안은 있는 것일까요?

수학 사교육이 만연해 있으며, 점점 더 어려서부터 시작하는 것으로 나타났습니다. 초등학교 때 사교육에 익숙해진 아이들이 중고등학교에 올라가서 사교육 없이 스스로 공부하기란 힘들 것입니다. 그렇기에 더욱 중요한 초등 사교육에 대해서 살펴보야야 합니다.

초등학교 수학 사교육 현황
요약 : 사교육 없이는 수학교과 과정을 따라가거나 좋은 점수를 받을 수 없다는 불안감이 팽배합니다. 초등 교과서의 내용이 상당히 어렵고, 진도가 너무 빨라 아이들이 천천히 생각할 틈이 없습니다. 부모님조차 초등 1, 2학년 교과서의 내용이 생소하고, 이해하기 어렵기 때문에 더욱 사교육에 의존하게 됩니다. 아래와 같은 문제를 대하고 있으면 상당히 당혹스럽기까지 합니다.

놀랍게도 초등사교육의 효과가 상당하다는 연구가 있습니다. 그렇기에 초등학년부터 사교육에 열을 올리는지도 모르겠습니다. 수학 사교육의 효과를 진지하게 따져봐야 합니다.

수학 사교육이 효과가 있을까?
요약 : 초등수학에서는 사교육 효과가 분명히 있습니다. 다름아닌 사교육을 받으면 성적을 올려주거나, 유지시켜 준다는 것입니다. 초등 수학 교과 과정이 비교적 쉽다는 특성과 함께 어린 아이들에게는 강요된 학습에서도 어느 정도 효과를 거둘 수 있습니다. 초등학생을 대상으로도 스파르타식 학원이 성행하는 이유입니다. 중고등학교로 올라갈 수록 사교육 효과가 상당히 미미해집니다.

수학 사교육이 단기적인 효과는 있어도, 장기적으로는 효과가 거의 없는 것으로 나타났습니다. 그러면 사교육 없이 공교육 만으로 수학교육이 나아질까요? 그런 확신만 있다면 효과 없다는 사교육을 할 필요가 없을 것입니다. 그렇기에 학교교육이 어떠한지 자료를 살펴봐야겠지요.

학교 수학교육을 믿고 따라갈 수 있을까?
요약 : 한국교육개발원 김종대 연구원이 2000년도에 발표한 “한국교육 위기의 원인과 실태분석”에 보면 학교교육에 대한 민낯을 여실히 볼 수가 있습니다. 67.3%만이 소수의 학생만 이해하거나, 거의 아무도 이해하지 못한다는 충격적인 통계입니다. 만약 수학교과에 대한 질문이었다면 훨씬 심각한 수치를 접했을 것입니다.

대다수의 학생들은 학교수업에 집중하지도 않고, 거의 이해도 못하는 것으로 드러났습니다. 학교교육만 믿고 따라가다가는 낙오되기 쉽다는 것이지요. 사교육은 효과가 없다하고, 학교교육으로는 낙오자가 속출한다니 도대체 어떻게 해야 좋을까요?

우리의 수학교육 어떻게 달라져야 할까?
요약 : 자기 스스로 느끼고 활동하지 못한 채로 공식암기, 공식 적용, 그리고 다음 공식 암기.. 이런 주입식 과정을 되풀이 해서는 어떠한 성취도 기대할 수 없을 것입니다. 인간은 자연을 관찰하고, 느끼면서 스스로 탐구하는 능력이 있습니다. 스스로 깨닫는 것에서 행복감, 성취감을 느끼게 됩니다. 아이들에게 스스로 탐구하고, 깨닫는 즐거움을 되돌려 주어야 합니다.

약간의 희망을 보았습니다. 아이들의 본성에 맞는 교육, 즐거운 교육이 이루어지면 수학을 지겨워할 이유도 없고, 학생 스스로 잘 하겠지요. 어떤 원리로 그것이 가능하다는 것일까요?

관찰 중심의 수학 원리
요약 : 스스로 관찰하고, 깨닫는 순간을 되돌려 주는 교육, 타인에게 의존하지 않고, 혼자서도 이해할 수 있는 효과적인 방식의 교육, 수학의 개념을 직관적이고 구체적인 이미지로 제시하여 이해력을 높이는 교육, 배우는 즐거움을 앗아가지 않는 교육. 관찰 중심의 수학에서는 선생님이 말로 개념을 설명하기에 앞서, 학생 스스로 관찰을 하고, 관찰의 결과를 토대로 하여, 그 뒤에 숨어있는 수학적 원리를 스스로 깨닫게 됩니다. 손으로 만져보고, 눈으로 관찰하고, 스스로 생각하는 것입니다.

변화의 시작은 변할 수 있다는 꿈과 믿음에서 시작하는 것이고, 그 꿈과 믿음을 여러 사람이 함께 나눌 때 비로소 성취되는 것이겠지요. 여러분도 함께 하시기를 간절히 원하고 있습니다.

관찰 중심의 수학 원리, 데카르 공식 페이지 : http://www.descar.net

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관찰 중심의 수학 원리

whoborn — Thu, 23 Apr 2015 07:34:40 +0000

관찰 중심의 수학에서는 선생님이 말로 개념을 설명하기에 앞서, 학생 스스로 관찰을 하고, 관찰의 결과를 토대로 하여, 그 뒤에 숨어있는 수학적 원리를 스스로 깨닫게 됩니다. 손으로 만져보고, 눈으로 관찰하고, 스스로 생각하는 것입니다.

[관찰 중심의 수학 원칙]

– 스스로 관찰하고, 깨닫는 순간을 되돌려 주는 교육
– 타인에게 의존하지 않고, 혼자서도 이해할 수 있는 효과적인 방식의 교육
– 수학의 개념을 직관적이고 구체적인 이미지로 제시하여 이해력을 높이는 교육
– 배우는 즐거움을 앗아가지 않는 교육

아이들이 손으로 만지고, 자유롭게 움직이면서 관찰할 수 있도록 카드 형태로 되어 있습니다. 카드는 일반 종이카드와 투명카드 두 가지 종류가 있습니다. 일반 종이 카드 앞면에는 숫자와 그에 대응되는 사물이나 수학적 표현이 그려져 있고, 뒷면에는 수학적 패턴이 그려져 있습니다.

일반 종이 카드 앞면

일반 종이 카드 뒷면

투명 카드

일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹쳐 놓으면 수학문제를 볼 수 있습니다. 여러 카드에서 원하는 카드를 골라 겹쳐 놓으면 학생 스스로 수학 문제를 손쉽게 낼 수 있습니다. 선생님이나 부모님이 문제를 내주고, 학생이 푸는 방식과는 확연히 다릅니다. 문제를 스스로 내면서도 즐거움을 얻게 됩니다.

일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹치는 중

일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹쳐 만든 문제

일반카드 뒷면과 투명카드를 겹쳐보면 정답을 관찰할 수 있습니다. 수학적 패턴을 이미지화 시켰기 때문에 어린 아이들도 쉽게 개념을 인식할 수 있게 됩니다. 말로 설명하는 것과 눈으로 직접 보는 것에는 큰 차이가 있습니다. 기존의 동영상 수업 또는 교실 수업에서는 개별적인 설명과 이해가 불가능했다면, 이 방식은 학생별로 카드를 손에 쥐고 관찰하기 때문에 개별적인 이해가 가능합니다.

일반 종이 카드 뒷면과 투명카드를 겹치는 중

4+2에 대한 정답을 확인. 4에서 2가 증가하여 6에 도착한 것을 확인

더하기(플러스)는 오른쪽 방향으로 수가 증가하는 쪽으로 이동하고, 빼기(마이너스)는 왼쪽 방향으로 수가 줄어드는 쪽으로 이동합니다. 이러한 패턴을 카드를 겹쳐가면서 관찰할 수 있습니다. 초등1학년 이하의 어린이도 마이너스의 개념을 눈으로 확인함으로써 쉽게 이해할 수 있게 됩니다.

4-6에 대한 정답을 확인. 4에서 6이 감소하여 -2에 도착한 것을 확인

4+4-7에 대한 문제를 확인

초등수학에서 가장 문제가 되는 것이 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 분수 연산에 대해서 기계적이고 반복적인 연습을 질릴만큼 한 다는 것입니다. 그렇다고 안 할 수도 없지만 정도가 지나친 측면이 없지 않습니다. 게다가 정확히 이해하지 못한 상태에서 문제를 풀기 때문에 깨닫는 즐거움 조차 있을 수 없습니다.

구구단을 외우지 않고, 관찰을 통해서 익힐 수도 있습니다. 아이들은 호기심을 갖고 관찰을 통해 스스로 깨달은 것에는 기가막힌 기억력을 발휘합니다. 또한 글이나 말 보다는 이미지(그림)로 학실하게 확인한 패턴에 대해서는 오래도록 기억합니다.

구구단 중 7단의 경우는 7씩 늘어나는 양을 나타냅니다. 특별히 unit square(단위 정사각형) 7층으로 쌓여 있고, 그것이 오른쪽으로 반복해서 늘어납니다.

일반종이카드 뒷면. 7씩 늘어나는 사각형 모양

투명카드에는 3씩 위로 늘어나는 모양으로 숫자가 적혀 있습니다. 구구단 중에 3단에 해당하는 것입니다. 아이들은 손으로 만지고, 눈으로 보면서 자연스럽게 3씩 늘어나는 숫자를 익히게 됩니다. 노트나 책받침에 적혀있는 구구단을 보면 숨막혀하는 아이들도 이런 카드를 보면 부담없이 곱하기의 패턴을 익힐 수 있께 됩니다.

투명카드. 3씩 늘어나는 직선 모양

이제 일반 종이카드 뒷면과 투명카드를 겹쳤을 때 만들어지는 새로운 패턴을 보게 됩니다. 완전히 겹치게 되면 7 x 3은 21이란 숫자에서 동그란 원 모양의 점을 만들게 됩니다. 아이들은 이런 미세한 차이를 관찰하면서 원리를 터득합니다. 면적의 개념, 좌표의 개념까지 자연스럽게 확장할 수 있습니다.

일반 종이 카드와 투명카드를 겹치는 중

일반카드와 투명카드를 겹쳤을 때 21에서 원이 만들어짐

수를 좋아하는 사람들의 특징 중에 하나는 수가 어떻게 구성되어 있는지 궁금해하고, 분해하기를 좋아합니다. 다시 말해서 소인수분해를 즐겁게 합니다. 어떤 약수들이 있고, 약수의 개수가 몇 개인지를 스스로 탐구합니다. 수에 대한 이러한 호기심을 촉발시킬 수 있도록 교육이 이루어져야 하는데, 아쉽게도 호기심이 생길 수 없는 기계적인 학습이 이루어지고 있습니다.

16은 3가지 모양의 직사각형을 만들 수 있습니다. 직사각형은 곱하기로 표현될 수 있고, 이것을 달리 표현하면 약수가 될 수 있다는 뜻입니다. 2|16을 영어로는 2 divides 16이라고 읽고 “2는 16을 나눈다”라는 뜻을 갖습니다. 즉 2는 16의 약수라는 것이지요. 5와 같이 하나의 직사각형 모양만 갖는 것을 소수(prime)라고 합니다. 소수는 1과 자기자신만을 약수로 갖는 수인데, 이런 설명으로는 아이들이 이해하기도 힘들고, 호기심을 갖기도 힘듭니다.

일반 종이 카드 앞면에 16의 약수를 표현

일반 종이 카드 뒷면에 16을 길이로 표현

이제 두 카드를 겹쳐 보면 16 ÷ 4의 결과를 볼 수 있습니다. 16이라는 길이를 4등분 했을 때 그 중 하나의 길이를 나타냅니다.

일반카드와 투명카드가 겹치는 중

16÷4의 결과가 4라는 길이를 나타냄

초등학교 수학에서 분수야말로 수포자를 만드는 결정적인 역할을 합니다. 자연수의 사칙연산은 직관적으로 이해하기 수월한 반면에 분수의 사칙연산은 그렇지 못합니다. 분수의 사칙연산도 누구나 이해할 수 있게 그림으로 명확한 그림을 보여줄 수 있습니다.

분수의 근본 의미는 분자를 분모로 나눈다는 의미입니다. 빵 5개를 8명이 나누어 먹었을 때 한 명이 얼마만큼의 빵을 먹을 수 있느냐의 문제이니다. 한 명이 1개씩 먹지 못할 것입니다. 또 하나의 의미는 하나의 양을 동일한 크기로 나누었을 때 단위분수가 되는데, 단위분수가 몇 개가 되느냐의 문제입니다.

일반 종이 카드의 앞면. 분수와 나누기의 관계

일반 종이 카드 뒷면. 8개로 나누었을 때 5조각

일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹쳐 놓으면 문제를 만들 수 있습니다. 두 분 수 중에 어떤 것이 클까요? 분수는 양에 대한 표현이기에 통분하지 않고도 감각적으로 그 양을 추측할 수 있어야 합니다. 그런데 애석하게도 기계적인 학습을 한 결과 통분하지 않으면 그 양을 가늠조차 못하는 아이들이 굉장히 많습니다. 분수를 하나의 양이 아닌 두개의 수라고 생각하는 학생도 있습니다.

일반 종이 카드와 투명카드를 겹친 모습

일반 종이 카드의 뒷면과 투명카드를 겹쳤을 때 정답을 확인할 수 있습니다. 파이 모양으로도 빨간 부분이 파란 부분을 덮고, 조금 더 많은 부분을 차지합니다. 아래 부분의 직선의 길이로도 마찬가지 결과를 관찰할 수 있습니다. 카드를 맞대어 보면서 관찰을 통해 분수의 양감을 느낄 수 있게 되는 것입니다.

일반카드와 투명카드가 겹치는 중

빨간 부분이 약간 크다는 것을 학인

이외에도 관찰을 통해 배울 수 있는 다양한 단계들의 수학카드가 있습니다. 마이너스와 마이너스를 곱하면 왜 플러스가 되는지, a + a = 2a가 되는 원리 등을 눈으로 학인함으로써 개념을 확고하게 익힐 수 있습니다. 더 나아가 방정식과 함수, 비례식, 삼각비, 삼각함수는 물론 미적분까지 관찰을 통해서 누구나 쉽게 익힐 수 있다고 생각합니다. 이 땅의 수학교육에 혁신적 대안 모델을 연구하고, 적용하여 일반화되기까지 계속해서 정진하겠습니다.

관찰 중심의 수학 원리, 데카르 공식 페이지 : http://www.descar.net

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데이비드 흄.. 인간 본성에 관한 논고.. 그리고 데카르

choiyoung — Fri, 10 Apr 2015 04:14:45 +0000

흄의 “인간 본성에 관한 논고”를 읽어보면, 이성또한 감각과 감각이 주는 인상에 의해 종속되는 개념으로 설명합니다. 상상력이나 이성이 작용하기 이전에 감각을 통한 경험이 먼저 선행되어야 한다는 것이지요. 사유의 원천은 경험이고, 감각경험은 모든 인식의 원천이라고 주장합니다. 흄에 따르면 인간은 서로 다른 지각들의 한 다발이거나 집합일 뿐이며, 이 지각들이 생각할 수 없을 정도로 빠르게 서로 계기하며 영원히 흐르고 운동합니다.

아이들이 어떤 수학적 개념을 처음 접할 때 추상적인 설명이나, 이성적인 정신 활동을 위주로 해서는 안되는 근거이기도 합니다. 먼저 감각적 경험을 충분히 해주어야 합니다. 즉 손으로 만지고, 눈으로 보는 등 감각을 통해 경험해야합니다. 그것이 인식의 원천이 되어, 개념을 이해할 수 있게 되는 것입니다.

수학을 눈으로 보고, 아이 스스로 관찰을 통해 수학적 패턴을 각인시킨 이후에는 확고한 개념을 획득하게 됩니다.

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